Sesgue líneas

En la geometría del espacio, sesgue líneas son dos líneas que no se cruzan y no son paralelas. Equivalentemente, son líneas que no son coplanar. Un ejemplo simple de un par de sesga líneas es el par de líneas a través de bordes de enfrente de un tetraedro regular. Las líneas que son coplanar se cruzan o son paralelas, así sesgue líneas sólo existen en tres o más dimensiones.

Explicación

Si cada línea en un par de sesga líneas es definido por dos puntos, entonces estos cuatro puntos no deben ser coplanar, por tanto deben ser los vértices de un tetraedro del volumen distinto a cero; a la inversa, cualquier dos par de puntos que definen un tetraedro del volumen distinto a cero también define a un par de sesgan líneas. Por lo tanto, una prueba de si dos pares de puntos y definen sesga líneas debe aplicar la fórmula para el volumen de un tetraedro, y pruebas si el resultado es distinto a cero.

Si cuatro puntos se escogen a bulto dentro de un cubo de la unidad, definirán casi seguramente a un par de sesgan líneas, porque (después de que los tres primeros puntos se han elegido) el cuarto punto definirá una línea no sesgar si, y sólo si, es coplanar con los tres primeros puntos, y el avión a través de los tres primeros puntos forma un subconjunto del cero de la medida del cubo. Del mismo modo, en el espacio 3D una muy pequeña perturbación de dos paralela o líneas que se cruzan los girará casi seguramente en sesgan líneas. En este sentido, sesgue líneas son el caso "habitual", y la paralela o las líneas que se cruzan son casos especiales.

Las configuraciones del múltiplo sesgan líneas

Una configuración de sesga líneas es un juego de líneas en las cuales todos los pares son sesgan. Se dice que dos configuraciones son isotopic si es posible transformar continuamente una configuración en el otro, manteniendo durante la transformación la invariante que todos los pares de líneas permanecen sesga. Se ve fácilmente que cualquier dos configuración de dos líneas es isotopic, y las configuraciones del mismo número de líneas en dimensiones más alto que tres siempre están isotopic, pero allí existen configuraciones non-isotopic múltiples de tres o más líneas en tres dimensiones. El número de configuraciones nonisotopic de líneas n en R, que comienza en n = 1, es

:1, 1, 2, 3, 7, 19, 74....

Sesgue líneas y superficies gobernadas

Si uno gira una línea L alrededor de otra línea L' sesgan, pero no perpendiculares a ello, la superficie de revolución barrida por L es un hyperboloid de una hoja. Por ejemplo, los tres hyperboloids visible en la ilustración se pueden formar de esta manera haciendo girar una línea L alrededor de la línea vertical blanca central L'. Las copias de L dentro de esta superficie lo hacen una superficie gobernada; también contiene a una segunda familia de líneas que también son sesgan a L' a la misma distancia que L de ello, pero con el ángulo de enfrente. Una transformación affine de esta superficie gobernada produce una superficie que en general tiene un corte transversal elíptico, más bien que el corte transversal circular producido girando L alrededor de L'; tales superficies también se llaman hyperboloids de una hoja, y otra vez son gobernadas por dos familias de mutuamente sesgan líneas. Un tercer tipo de la superficie gobernada es paraboloid hiperbólico. Como el hyperboloid de una hoja, paraboloid hiperbólico tiene dos familias de sesgan líneas; en cada una de las dos familias las líneas son paralelas a un avión común aunque no el uno al otro. Cualesquiera tres sesgan líneas en R están en exactamente una superficie gobernada de uno de estos tipos.

La distancia entre dos sesga líneas

Para calcular la distancia entre dos sesgan líneas las líneas se expresan usando vectores,

:

:.

El producto enfadado de b y d es perpendicular a las líneas, como es el vector de la unidad

:

(si |b × d es el cero las líneas son paralelas y este método no se puede usar). La distancia entre las líneas es entonces

:.

Sesgue pisos en dimensiones más altas

En el espacio d-dimensional, un i-piso y un j-piso pueden ser sesgan si

. Como en el avión, sesgue pisos son aquellos que no son ni la paralela, ni se cruzan.

En el d-espacio affine, dos pisos de cualquier dimensión pueden ser paralelos.

Sin embargo, en el espacio descriptivo, el paralelismo no existe; dos pisos se deben cruzar u o ser sesgan.

Deje ser el juego de puntos en un i-piso y dejar ser el juego de puntos en un j-piso.

En el d-espacio descriptivo, si entonces la intersección de y debe contener (un i+j−d) - piso.

En la una o la otra geometría, si y se cruzan en un k-piso, ya que entonces los puntos de determinan (un i+j−k) - piso.

Notas

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