El teorema de Eisenstein

En matemáticas, el teorema de Eisenstein, nombrado por el matemático alemán Gotthold Eisenstein, se aplica a los coeficientes de cualquier serie de poder que sea una función algebraica con coeficientes del número racional. A través del teorema, es fácilmente demostrable que una función como la función exponencial debe ser una función transcendental.

Suponga por lo tanto esto

:

es una serie de poder formal con coeficientes racionales a, que tiene un radio distinto a cero de la convergencia en el avión complejo, y dentro de ello representa una función analítica que es de hecho una función algebraica. Deje a d denotar el denominador de a, como una fracción en los términos más bajos. Entonces el teorema de Eisenstein declara que hay un juego finito S de números primos p, tal que cada factor principal de un número d se contiene en S.

Esto tiene una interpretación en términos de números p-adic: con una extensión apropiada de la idea, el radio p-adic de la convergencia de la serie es al menos 1, para casi todo p (es decir la flor de la vida fuera del juego finito S). De hecho esa declaración es un poco más débil, en que desatiende cualquier suma parcial inicial de la serie, en un camino que puede variar según p. Para la otra flor de la vida el radio es distinto a cero.

El artículo original de Eisenstein es la comunicación corta

Über eine allgemeine Eigenschaft der Reihen-Entwicklungen aller algebraischen Functionen

(1852), reproducido en Mathematische Gesammelte Werke, Grupo II, Chelsea Publishing Co., Nueva York, 1975,

p. 765–767.

Más recientemente, muchos autores han investigado límites precisos y eficaces que cuantifican el susodicho casi todos.

Ver, p.ej, los Artículos 11.4 y 11.55 del libro por E. Bombieri & W. Gubler.



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